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商数和

P
def aliquot_sum(input_num: int) -> int:
    """
    Finds the aliquot sum of an input integer, where the
    aliquot sum of a number n is defined as the sum of all
    natural numbers less than n that divide n evenly. For
    example, the aliquot sum of 15 is 1 + 3 + 5 = 9. This is
    a simple O(n) implementation.
    @param input_num: a positive integer whose aliquot sum is to be found
    @return: the aliquot sum of input_num, if input_num is positive.
    Otherwise, raise a ValueError
    Wikipedia Explanation: https://en.wikipedia.org/wiki/Aliquot_sum

    >>> aliquot_sum(15)
    9
    >>> aliquot_sum(6)
    6
    >>> aliquot_sum(-1)
    Traceback (most recent call last):
      ...
    ValueError: Input must be positive
    >>> aliquot_sum(0)
    Traceback (most recent call last):
      ...
    ValueError: Input must be positive
    >>> aliquot_sum(1.6)
    Traceback (most recent call last):
      ...
    ValueError: Input must be an integer
    >>> aliquot_sum(12)
    16
    >>> aliquot_sum(1)
    0
    >>> aliquot_sum(19)
    1
    """
    if not isinstance(input_num, int):
        raise ValueError("Input must be an integer")
    if input_num <= 0:
        raise ValueError("Input must be positive")
    return sum(
        divisor for divisor in range(1, input_num // 2 + 1) if input_num % divisor == 0
    )


if __name__ == "__main__":
    import doctest

    doctest.testmod()
关于此算法

正整数 $n$ 的商数和 $s(n)$ 是 $n$ 所有真因数的和,即除了 $n$ 本身之外的所有 $n$ 的因数。也就是说

$$ s(n) = \sum_{d | n, d \neq n} {d} $$

例如,数字 $15$ 的商数和是 $(1 + 3 + 5) = 9$

商数和是数论中一个非常有用的性质,可用于定义

  • 素数
  • 亏数
  • 盈数
  • 完全数
  • 亲和数
  • 不可触数
  • 一个数的商数序列
  • 准完全数 & 几乎完全数
  • 友善数

关于商数和的事实

  • 1 是唯一商数和为 0 的数
  • 完全数的商数和等于该数本身
  • 对于形如 $pq$ 的半素数,商数和为 $p + q + 1$
  • 商数和函数是世界著名数学家保罗·埃尔德什最喜欢的研究课题之一

寻找商数和的方法

步骤 1:获取数字的真因数

我们循环遍历从 $1$ 到 $[\frac{n} 2]$ 的所有数字,并检查它们是否能整除 $n$,如果能整除,则将其添加为真因数。

我们取 $[\frac{n} 2]$ 作为上限的原因是,偶数的最大可能真因数是 $\frac{n} 2$,如果数字是奇数,则其最大真因数小于 $[\frac{n} 2]$,因此使其成为一个万无一失的上限,在计算上比循环从 $1$ 到 $n$ 更有效率。

步骤 2:添加数字的真因数

我们得到的和就是该数字的商数和

实现

来源